--- jupytext: formats: ipynb,md:myst text_representation: extension: .md format_name: myst format_version: 0.13 jupytext_version: 1.16.0 kernelspec: display_name: Python 3 language: python name: python3 --- # Lineære transformationer ## Opsætning Vi importerer de nødvendige python-pakker. ```{code-cell} import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt ``` ## Indledning Fra jeres sædvanlige matematikundervisning kender I funktioner: $$ f(x)=x^{2}, \qquad x\in\mathbb{R}, \qquad (f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}). $$ Det betyder at til en værdi $x\in\mathbb{R}$ finder vi en $y$-værdi $f(x)$. Hvis $x=3$, så er $f(3)=9$. Værdimængden for funktionen er $$ \mathrm{Vm}(f)=[0,\infty[ . $$ hvilket betyder, at ikke alle $y$-værdier kan rammes af en $x$-værdi. >Overvej hvorfor? >Har $f$ en invers funktion? Vi vil nu definere en særlig type funktioner, som tager vektorer, og hvor værdien også er vektorer. F.eks. $$f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}.$$ Inden vi definerer disse nye funktioner, skal vi indføre et nyt begreb kaldet **matricer**. ## Matricer ### Eksempler En reel $2\times 2$ matrix er et skema med tal: $$ M_1 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \qquad \text{er en $2\times 2$ matrix.} $$ Et andet eksempel: $$ M_{2}=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{bmatrix}\qquad\text{er en }2\times 3\text{ matrix.} $$ Vi taler om *søjler* og *rækker* i matricer. $M_{2}$ har 2 rækker: $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \quad \text{er række 1,} \qquad \begin{bmatrix} 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \quad \text{er række 2.} $$ $M_{2}$ har 3 søjler: $$ \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \end{bmatrix} \quad \text{er søjle 1,} \qquad \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix} \quad \text{er søjle 2,} \qquad \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \end{bmatrix} \quad \text{er søjle 3.} $$ ### Matrix-vektor produkt Vi indfører nu et matrix-vektor produkt. $$ M = \begin{bmatrix} \text{---} & \boldsymbol{r}_1 & \text{---} \\ \text{---} & \boldsymbol{r}_2 & \text{---} \\ &\vdots \\ \text{---} & \boldsymbol{r}_m & \text{---} \end{bmatrix}_{m \text{ rækker}, \; n \text{ søjler}} \qquad \boldsymbol{v} = \begin{bmatrix} v_{1} \\ v_{2} \\ \vdots \\ v_{n} \end{bmatrix}_{n \text{ rækker}, \; 1 \text{ søjle}}. $$ Her er $\;\boldsymbol{r}_1,\dots,\boldsymbol{r}_m\;$ de $m$ rækker i $M$. $$ M\boldsymbol{v} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{r}_1 \cdot \boldsymbol{v} \\ \boldsymbol{r}_2 \cdot \boldsymbol{v} \\ \vdots \\ \boldsymbol{r}_m \cdot \boldsymbol{v} \end{bmatrix}. $$ hvor hver række består af det sædvanlige skalarprodukt mellem den tilsvarende række i $M$ og vektoren $\boldsymbol{v}$. ***Bemærk:*** Antallet af søjler i $M$ skal matche antallet af rækker i $\boldsymbol{v}$. Betragt for eksempel matricen og vektoren $$ M=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}, \qquad \boldsymbol{v}=\begin{bmatrix}-1 \\ 1\end{bmatrix}. $$ Vi kan beregne produktet som $$ M \boldsymbol{v} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\cdot(-1)+2\cdot 1 \\ 3\cdot(-1)+4\cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}. $$ I python beregnes det som følgende. ```{code-cell} M = np.array([[1,2],[3,4]]) v = np.array([-1,1]) print(M @ v) ``` Lad os prøve. Betragt de fire følgende matrix-vektorpar: $$ M_{1} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{v}_{1} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}. $$ $$ M_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 3 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{v}_{2} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}. $$ $$ M_{3} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -2 & 3 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{v}_{3} = \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix}. $$ $$ M_{4} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{v}_{4} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}. $$ >Prøv at udføre hver matrix-vektorprodukt i hånden, og afgør hvilken af de 4 der ikke kan udføres. >Brug den følgende kodecelle til at se om du får det samme resultat i Python. ```{code-cell} # Beregn matrix-vektorprodukterne her ``` >Kan du lave en regel for antallet af rækker og søjler i produktet $M\boldsymbol{v}$ ud fra kendskab til antallet af søjler og rækker i $M$ og $v$ hver især? ## Tilbage til funktioner Vi vender nu tilbage til funktionerne. Lad $A$ være en $2\times 2$ matrix. ### Lineær afbildning Et eksempel på en lineær afbilding er $$ f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2, \qquad f(\boldsymbol{v}) = A \boldsymbol{v}. $$ Vi kan se, at det altid går godt: Enhver vektor $\boldsymbol{v}\in\mathbb{R}^2$ kan ganges på en $2\times 2$ matrix. Spørgsmålet er nu: Hvilke værdier kan funktionen antage? (De ligger selvfølgelig i $\mathbb{R}^2$.) Vi ved allerede, at vektoren $$ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$ altid ligger i værdimængden (som kaldes billedrummet). >Hvorfor? Bemærk, at vi kan skrive $$ f(\mathbf{v}) = \begin{bmatrix} | & | \\ s_1 & s_2 \\ | & | \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_{1} \\ v_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} | \\ s_{1} \\ | \end{bmatrix} v_{1} + \begin{bmatrix} | \\ s_{2} \\ | \end{bmatrix} v_{2}, $$ hvor $s_1$ og $s_2$ er søjlerne i $A$. >Kan du forklare, hvorfor det gælder? Dette giver anledning til figuren, der dannes i følgende kodecelle. ```{code-cell} # --- input (experimentér med talværdierne her) --- s1 = np.array([1, 3]) # første søjle s2 = np.array([2, 0.5]) # anden søjle v1, v2 = 2, 3 # elementer i vektoren # ------------------------------------------ f_v = v1*s1 + v2*s2 fig, ax = plt.subplots() # tegner søjleprodukterne ax.quiver(0, 0, *v1*s1, angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color="blue") ax.text(*v1*s1/2, r'$v_1\mathbf{s}_1$', fontsize=12, color="k", ha='left', va='top') ax.plot([v1*s1[0], f_v[0]], [v1*s1[1], f_v[1]], 'b--', linewidth=1) ax.quiver(0, 0, *v2*s2, angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color="blue") ax.text(*v2*s2/2, r'$v_2\mathbf{s}_2$', fontsize=12, color="k", ha='left', va='top') ax.plot([v2*s2[0], f_v[0]], [v2*s2[1], f_v[1]], 'b--', linewidth=1) # tegner søjlerne ax.quiver(0, 0, *s1, angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color="green") ax.text(*s1/2, r'$\mathbf{s}_1$', fontsize=12, color="k", ha='right', va='bottom') ax.quiver(0, 0, *s2, angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color="green") ax.text(*s2/2, r'$\mathbf{s}_2$', fontsize=12, color="k", ha='right', va='bottom') # tegner f(v) ax.quiver(0, 0, *f_v, angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color="r") ax.text(*f_v/2, r'$f(\mathbf{v})$', fontsize=12, color="k", ha='right', va='bottom') # plot udseende ax.axhline(0, color="black", linewidth=1) ax.axvline(0, color="black", linewidth=1) ax.set_aspect("equal") ax.set_xlim(min(v1*s1[0], v2*s2[0], f_v[0], 0) - 1, max(v1*s1[0], v2*s2[0], f_v[0], 0) + 1) ax.set_ylim(min(v1*s1[1], v2*s2[1], f_v[1], 0) - 1, max(v1*s1[1], v2*s2[1], f_v[1], 0) + 1) ax.grid(True, which='both', linestyle='--', linewidth=0.5) ax.set_xlabel("$x$") ax.set_ylabel("$y$") plt.show() ``` >Forklar ud fra figuren hvorfor værdimængden enten er punktet $(0,0)$, en ret linje gennem origo, eller hele $\mathbb{R}^2$.
*Vink*: Hvad sker der, hvis de to søjler er parallelle? Tjek evt. ved at ændre talværdierne for figuren. ### Opgave Lad $$ A = \begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ -1 & 1\end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix}1 & -2 \\ -1 & 2\end{bmatrix} $$ og $$ \boldsymbol{v}_{1} = \begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{v}_{2} = \begin{bmatrix}-1 \\ 1\end{bmatrix}. $$ Definér funktionerne $f_A(\boldsymbol{v})=A\boldsymbol{v}$, $f_B(\boldsymbol{v})=B\boldsymbol{v}$, $f_C(\boldsymbol{v})=C \boldsymbol{v}$. >Opstil i følgende kodecelle matricerne $A,\;B$ og $C$ samt vektorerne $\boldsymbol{v}_1$ og $\boldsymbol{v}_2$. ```{code-cell} # ``` >Bestem $f_{A}(v_{1})$, $f_{A}(v_{2})$, $f_{B}(v_{1})$, $f_{B}(v_{2})$, $f_{C}(v_{1})$ og $f_{C}(v_{2})$ og inspicér resultaterne vha. `print`. ```{code-cell} print(s1) ``` Lad os prøve at visualisere det. I den følgende kodecelle defineres funktionen `draw_vectors`, som vi kan bruge til at vise vektorer i et koordinatsystem. ```{code-cell} def draw_vectors(vector_list): # input: liste af 2D-vektorer som numpy arrays fig, ax = plt.subplots() # tegner vektorerne for v in vector_list: ax.quiver(0, 0, *v, angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color="blue") #ax.text(*(v/2), f"({v[0]}, {v[1]})",fontsize=10, color="k", ha='right', va='bottom') # sætter plottets størrelse all_x = [v[0] for v in vector_list] + [0] all_y = [v[1] for v in vector_list] + [0] ax.set_xlim(min(all_x) - 1, max(all_x) + 1) ax.set_ylim(min(all_y) - 1, max(all_y) + 1) # plot udseende ax.axhline(0, color="black", linewidth=1) ax.axvline(0, color="black", linewidth=1) ax.set_aspect("equal") ax.grid(True, which='both', linestyle='--', linewidth=0.5) ax.set_xlabel("$x$") ax.set_ylabel("$y$") plt.show() ``` >Brug funktionen til at vise billedvektorerne i samme koordinatsystem. ```{code-cell} vektor_liste = [np.array([1,0]), np.array([0,1])] draw_vectors(vektor_liste) ``` >Prøv at beskrive *værdimængden* af de tre funktioner. Overvej hvilke vektorer i $\mathbb{R}^2$, der kan rammes af $f_A$, $f_B$ og $f_C$ når $\boldsymbol{v} \in \mathbb{R}^2$? ### Rang Vi vil introducere begrebet **rang** af en matrix. >Spørg din favorit-AI om begrebet *rang*. I Python kan rangen af en matrix beregnes med funktionen `np.linalg.matrix_rank(M)`. >Bestem $\;\text{rang}(A),\;\text{rang}(B)$ og $\text{rang}(C)$. ```{code-cell} # ``` ***Bemærk:*** Det er kun for funktionen $f_B$, at vi kan finde en invers funktion. >Hvorfor? ## Rotationer Vi betragter nu en særlig klasse af funktioner: $$ f(\boldsymbol{v})=M\boldsymbol{v},\qquad M = \begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}, \qquad -\pi \le \theta \le \pi. $$ $M$ drejer en vektor $\boldsymbol{v}$, $\theta$ radianer i positiv omløbsretning. I den følgende kodecelle drejer vi vektoren $\boldsymbol{e}_1=\begin{bmatrix} 1\\0\end{bmatrix}$ med $\frac{\pi}{4}$ radianer ($45^{\circ}$). ```{code-cell} e1 = np.array([1,0]) theta = np.pi/4 M = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)], [np.sin(theta), np.cos(theta)]]) draw_vectors([e1, M @ e1]) ``` ### Opgave Ud af følgende 5 matricer svarer nogle til en drejning som ovenfor. $$ M_{1}=\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}, \quad M_{2}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}, \quad M_{3}=\begin{bmatrix}\tfrac{1}{\sqrt{2}} & -\tfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \tfrac{1}{\sqrt{2}} & \tfrac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}, $$ $$ M_{4}=\begin{bmatrix}1 & -1 \\ 1 & 1\end{bmatrix}, \quad M_{5}=\begin{bmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{\sqrt{3}}{2} \\ -\tfrac{\sqrt{3}}{2} & \tfrac{1}{2}\end{bmatrix}. $$ >Hvilke gør det, og hvilken vinkel svarer de til? >Prøv for hver af matricerne at indtegne en vektor $\boldsymbol{v}$ og billedvektoren $f(\boldsymbol{v})$ i samme koordinatsystem (brug gerne `draw_vectors` som ovenfor).
Ser vinklen ud til at passe? ```{code-cell} # ``` Vi kan med fordel definere en Python-funktion, der returnerer en rotationsmatrix for en given vinkel $\theta$. >Færdiggør funktionen `rotation_matrix` i følgende kodecelle. ```{code-cell} def rotation_matrix(theta): """ Returnerer en 2D rotationsmatrix for en rotation med vinklen theta (i radianer). """ # EGEN KODE: Definer rotationsmatricen M M = return M ``` Med denne funktion kan vi nu definere en rotationsmatrix $M$ som `M=rotation_matrix(theta)`. >Afprøv din funktion ved at genskabe en af de fem matricer ovenfor ved hjælp af den vinkel, du har fundet. *Vink*: I Python fås $\pi$ ved `np.pi`. ```{code-cell} # ``` ### Forklaring: hvorfor svarer $f$ til en drejning (kan evt. overspringes) En vektor $v$ kan opfattes som en længde og en retning, vi kan skrive $$ \boldsymbol{v} = |\boldsymbol{v}|\begin{bmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{bmatrix}, $$ hvor $\alpha$ svarer til vinklen mellem vektoren og $x$-aksen (den positive retning). Prøv nu at udføre matrix-vektorproduktet: $$ M \boldsymbol{v} = |\boldsymbol{v}|\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos\alpha \\ \sin\alpha \end{bmatrix}. $$ > Prøv at spørg din favorit-AI hvad *additionsformlerne* er for noget, > og se om du ved hjælp af disse kan besvare spørgsmålet: > Hvorfor svarer $f$ til en drejning på $\theta$ radianer i positiv omløbsretning? > Hvordan kan det være, at $|\boldsymbol{v}|$ kunne flyttes uden for selve matrixproduktet? ## Matrix-matrix produkt Vi definerer i lighed med matrix-vektor produktet et matrix-matrix produkt. Lad $$ M= \left[ \begin{array}{cccc} m_{11} & m_{12} & \cdots & m_{1n}\\ m_{21} & m_{22} & \cdots & m_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ m_{m1} & m_{m2} & \cdots & m_{mn} \end{array} \right] \qquad \begin{array}{l} \text{$n$ søjler}\\ \text{$m$ rækker} \end{array} $$ og $$ N= \left[ \begin{array}{cccc} n_{11} & n_{12} & \cdots & n_{1k}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ n_{n1} & n_{n2} & \cdots & n_{nk} \end{array} \right] \qquad \begin{array}{l} \text{$k$ søjler}\\ \text{$n$ rækker} \end{array} $$ Da er $$ M\,N = \left[ \begin{array}{cccc} \alpha_{11} & \alpha_{12} & \cdots & \alpha_{1k}\\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & \cdots & \alpha_{2k}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \alpha_{m1} & \alpha_{m2} & \cdots & \alpha_{mk} \end{array} \right], $$ hvor $\alpha_{ij}$ er lig skalarprodukt mellem række $i$ i $M$ og søjle $j$ i $N$. >Får vi med matrix–matrixproduktet det samme som matrix–vektorproduktet i det særlige tilfælde, hvor $N$ kun har én søjle ($k=1$)? ### Eksempel Betragt matrix-matrixproduktet $$ \begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2\\ -1 & 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 6 & 4\\ -1 & 12 & 10 \end{bmatrix}. $$ >Kan du få de samme værdier i produktmatricen som i eksemplet? I Python udføres matrix-matrixproduktet i samme stil som matrix-vektorproduktet ved at bruge `@`. >Verificer det ovenstående resultat i følgende kodecelle. ```{code-cell} # ``` ## Tilbage til rotationer ### Opgave > Brug den nedenstående kodecelle til at besvare opgaven. Angiv en $2\times2$ matrix $M_{1}$ der roterer en vektor i positiv omløbsretning med $\tfrac{\pi}{4}$ radianer, > og en anden $M_{2}$ der roterer en vektor i negativ omløbsretning med $\tfrac{\pi}{2}$ radianer: > > Vælg nu en vektor $v\in\mathbb{R}^{2}$. > > 1. Roter først vektoren ved hjælp af $M_1$: > > $$ \boldsymbol{v}_1 = M_1 \boldsymbol{v}. $$ > > 2. Roter derefter $v_1$ ved hjælp af $M_2$: > > $$ \boldsymbol{v}_2 = M_2 \boldsymbol{v}_1. $$ > > 3. (**Sammenlign**) Beregn også > > $$ \boldsymbol{v}_2' = (M_2 M_1) \boldsymbol{v} $$ > > og sammenlign $\boldsymbol{v}_2'$ med $\boldsymbol{v}_2$ (f.eks. i et plot eller ved brug af `print`). > > 4. Prøv at formulere i ord, hvad du ser! ```{code-cell} M1 = M2 = v = ``` ### Sammensætning af rotationer forklaring (kan evt. overspringes) Lad $$ M_{1}= \begin{bmatrix} \cos\theta_{1} & -\sin\theta_{1}\\ \sin\theta_{1} & \ \cos\theta_{1} \end{bmatrix} \qquad\text{og}\qquad M_{2}= \begin{bmatrix} \cos\theta_{2} & -\sin\theta_{2}\\ \sin\theta_{2} & \ \cos\theta_{2} \end{bmatrix}. $$ være to rotationsmatricer. >Udregn $M_{1}M_{2}$ i hånden. >Brug nu additionsformlerne fra tidligere til at vise, at $M_{1}M_{2}$ har samme virkning som en rotation med vinklen $\theta_{1}+\theta_{2}$ på en vilkårlig vektor i $\mathbb{R}^{2}$. ### Eksempel: Refleksion Betragt matricen $$ M = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $$ og lad $f$ være funktionen $f(\boldsymbol{v}) = M \boldsymbol{v}$. >Prøv med forskellige vektorer $\boldsymbol{v}$ at finde billedvektoren $f(\boldsymbol{v})$.
Hvilken virkning har matricen $M$ på en vektor? Bemærk at virkningen af $M$ ikke svarer til en rotation i positiv omløbsretning som beskrevet ovenfor, det vil sige $M$ kan ikke bringes på formen $$ \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}. $$ >Hvorfor ikke? Virkningen af $M$ på vektoren $\boldsymbol{v}$ kaldes en refleksion, (i dette tilfælde en refleksion i linjen udspændt af vektoren $\boldsymbol{w} = (1,1)$ ). ## Invers matrix Vi betragter igen en rotation, givet ved $$ M = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}. $$ $M$ roterer altså $\boldsymbol{v}$, $\theta$ radianer i positiv omløbsretning. Betragt nu den rotationsmatrix der roterer en vektor $\boldsymbol{v}$, $\theta$ radianer i negativ omløbsretning: $$ M^{-1} = \begin{bmatrix} \cos(-\theta) & -\sin(-\theta) \\ \sin(-\theta) & \cos(-\theta) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}. $$ >Forklar hvorfor de to ovennævnte matricer netop ser ud som de gør. Det er klart ud fra definitionen på $M$ og $M^{-1}$, at $$ M^{-1}(M\boldsymbol{v}) = M(M^{-1}\boldsymbol{v}) = \boldsymbol{v}. $$ >Prøv med forskellige forskellige vinkler og vektorer at eftervise ovenstående identiteter. >Prøv nu med de samme vinkler at udregne matrix-matrixprodukterne $M^{-1}M$ og $MM^{-1}$.
Hvad ser du? Vi kalder $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $$ identitetsmatricen $I$. >Hvilken virkning har den på en vektor? Vi siger at en matrix $M$ med lige antal søjler og rækker har en invers matrix hvis der findes en matrix $M^{-1}$ med egenskaben $$ M^{-1}M = MM^{-1} = I. $$ ## Diagonal matrix En matrix på formen $$ D = \begin{bmatrix} m_{11} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & m_{22} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & m_{nn} \end{bmatrix}, $$ hvor kun diagonalelementerne er forskellige fra nul (bemærk at vi kalder diagonalen den linje, der går fra øverste venstre hjørne til nederste højre hjørne i matricen). >Identitetsmatricen er en diagonal­matrix – hvorfor? Betragt de fire følgende eksempler på $2\times 2$ diagonalmatricer: $$ D_{1} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad D_{2} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}, \quad D_{3} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} \end{bmatrix}, \quad D_{4} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}. $$ >Prøv at finde den inverse matrix (hvis muligt) til de fire diagonalmatricer. Matricen $$ V = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ \frac{1}{2} & 0 \end{bmatrix} $$ er ikke en diagonalmatrix. >Hvorfor ikke? >Kan du finde en invers til $V$? For at se virkningen af en diagonal­matrix på en vektor $\boldsymbol{v}$ betragter vi nu igen funktionen $$ f(\boldsymbol{v}) = N_i \boldsymbol{v}, $$ hvor $$ N_{1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad N_{2} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad N_{3} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad N_{4} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}. $$ >Beregn $f(\boldsymbol{v})$ i disse 4 tilfælde, brug forskellige $\boldsymbol{v}$'er. ```{code-cell} # ``` >Kan du forklare virkningen på en vektor $\boldsymbol{v}$ i de 4 tilfælde? ### Sammensætning af rotationer og diagonalmatricer Vi betragter igen de 4 matricer ovenfor. Lad $M$ være matricen $$ M = \begin{bmatrix} \cos\left(\tfrac{\pi}{4}\right) & -\sin\left(\tfrac{\pi}{4}\right) \\ \sin\left(\tfrac{\pi}{4}\right) & \cos\left(\tfrac{\pi}{4}\right) \end{bmatrix}. $$ >Udregn nu $M^{-1}N_iM$ og forklar resultatet ved hjælp af et plot. ```{code-cell} # ``` > Gælder der samme regler som for tal, at faktorernes orden er ligegyldig, altså er det korrekt at: > > $$ M^{-1}N_iM = N_iM^{-1}M = N_i I = N_i \, ? $$ > > Hvis ikke det gælder generelt, er det så altid forkert? ## Drejning af koordinatsystem og skift af koordinater Vi betragter nu to koordinatsystemer, vores sædvanlige $x$-$y$ koordinatsystem og så et nyt drejet $x'$-$y'$ koordinatsystem. Figuren genereres ved at køre følgende kodecelle. ```{code-cell} # Rotationsvinkel theta = np.pi / 6 # Akse definitioner x_axis = np.array([1, 0]) y_axis = np.array([0, 1]) x_prime = np.array([np.cos(theta), np.sin(theta)]) y_prime = np.array([-np.sin(theta), np.cos(theta)]) # Vektoren v v = np.array([np.cos(np.pi/4), np.sin(np.pi/4)]) fig, ax = plt.subplots(figsize=(5, 5)) # Plotter akserne axes_width = 0.004 ax.quiver(0, 0, *x_axis, angles="xy", scale_units="xy", scale=1, color="black", width=axes_width) ax.text(1.05, -0.05, "$x$", fontsize=12) ax.quiver(0, 0, *y_axis, angles="xy", scale_units="xy", scale=1, color="black", width=axes_width) ax.text(-0.05, 1.05, "$y$", fontsize=12) ax.quiver(0, 0, *x_prime, angles="xy", scale_units="xy", scale=1, color="black", width=axes_width) ax.text(x_prime[0]+0.05, x_prime[1], "$x'$", fontsize=12) ax.quiver(0, 0, *y_prime, angles="xy", scale_units="xy", scale=1, color="black", width=axes_width) ax.text(y_prime[0]-0.1, y_prime[1], "$y'$", fontsize=12) # Plot vektoren v ax.quiver(0, 0, *v, angles="xy", scale_units="xy", scale=1, color="black", width=0.006) ax.text(v[0]+0.05, v[1]+0.05, r"vektoren $\mathbf{v}$", fontsize=12) # Vinkelbue for theta arc = np.linspace(0, theta, 100) ax.plot(0.4*np.cos(arc), 0.4*np.sin(arc), color="black",linewidth=1) ax.text(0.5*np.cos(theta/2), 0.5*np.sin(theta/2), r"$\theta$", fontsize=12) # Plot udseende ax.set_aspect('equal') ax.set_xlim(-1, 1.5) ax.set_ylim(-0.5, 1.5) ax.axis("off") plt.show() ``` Opgaven er nu, hvis vi kender koordinaterne for $\boldsymbol{v}$ i det sædvanlige koordinatsystem, at finde koordinaterne i det drejede koordinatsystem og omvendt. --- Først et let eksempel: Lad os dreje $x'$-$y'$-koordinatsystemet $\tfrac{\pi}{2}$ radianer i forhold til $x$-$y$-koordinatsystemet. ```{code-cell} # Rotationsvinkel theta = np.pi / 2 # Akse definitioner x_axis = np.array([2, 0]) y_axis = np.array([0, 2]) x_prime = 2*np.array([np.cos(theta), np.sin(theta)]) y_prime = 2*np.array([-np.sin(theta), np.cos(theta)]) # Vektoren v v = np.sqrt(2)*np.array([np.cos(np.pi/4), np.sin(np.pi/4)]) fig, ax = plt.subplots(figsize=(5, 5)) # Plotter akserne axes_width = 0.004 ax.quiver(0, 0, *x_axis, angles="xy", scale_units="xy", scale=1, color="black", width=axes_width) ax.text(x_axis[0]+0.05, x_axis[1], "$x$", fontsize=12) ax.quiver(0, 0, *y_axis, angles="xy", scale_units="xy", scale=1, color="black", width=axes_width) ax.text(y_axis[0]-0.1, y_axis[1], "$y$", fontsize=12) ax.quiver(0, 0, *x_prime, angles="xy", scale_units="xy", scale=1, color="black", width=axes_width) ax.text(x_prime[0]+0.05, x_prime[1], "$x'$", fontsize=12) ax.quiver(0, 0, *y_prime, angles="xy", scale_units="xy", scale=1, color="black", width=axes_width) ax.text(y_prime[0]-0.1, y_prime[1], "$y'$", fontsize=12) # Plot vektoren v og projektioner på x- og y-aksen ax.quiver(0, 0, *v, angles="xy", scale_units="xy", scale=1, color="black", width=0.006) ax.text(v[0]+0.05, v[1]+0.05, r"$\mathbf{v}$", fontsize=12) ax.plot([v[0], v[0]], [-0.05, v[1]], 'k--', linewidth=0.5) # vertical from x-axis to tip ax.plot([-0.05, v[0]], [v[1], v[1]], 'k--', linewidth=0.5) # horizontal from y-axis to tip ax.text(v[0], -0.1, "1", fontsize=10, ha='center', va='top') ax.text(-0.1, v[1], "1", fontsize=10, ha='right', va='center') # Plot udseende ax.axis('off') ax.set_aspect('equal') ax.set_xlim(-2.5, 2.5) ax.set_ylim(-1, 3) plt.show() ``` Koordinaterne for $\boldsymbol{v}$ med hensyn til $x$-$y$-koordinatsystemet er $$ (1,1). $$ Koordinaterne for $\boldsymbol{v}$ med hensyn til $x'$-$y'$-koordinatsystemet er $$ (1,-1). $$ >Forklar hvorfor, brug figuren. --- Nu vender vi tilbage til det oprindelige problem. Lad os sige, at koordinaterne for $\boldsymbol{v}$ med hensyn til $x'$-$y'$-koordinatsystemet er $$ (v_1',v_2'), $$ Forestil jer nu, at de to koordinatsystemer er sammenfaldende til at starte med, og vi så begynder at dreje $x'$-$y'$-koordinatsystemet $\theta$ radianer i positiv omløbsretning med vektoren $\boldsymbol{v}$ fastholdt til $x'$-$y'$-koordinatsystemet. Dette svarer til at dreje vektoren $\boldsymbol{v}$ $\theta$ radianer, så koordinaterne i $x$-$y$-koordinatsystemet er $$ \begin{pmatrix} x \\[0.3em] y \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{pmatrix} x' \\[0.3em] y' \end{pmatrix}. $$ Drejningen den modsatte vej er givet ved $$ \begin{pmatrix} x'\\[0.2em] y' \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin\theta\\ -\sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \begin{pmatrix} x\\[0.2em] y \end{pmatrix}. $$ >Forklar hvorfor! Vi kalder de to indgående matricer for koordinatskiftematricer. --- **Opgave** Vælg nu en drejningsvinkel på $\tfrac{\pi}{4}$ radianer. 1. Betragt en vektor $\boldsymbol{v}$ med koordinater $$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}. $$ >Find $x'$-$y'$-koordinaterne. ```{code-cell} # ``` 2. Betragt en vektor $\boldsymbol{w}'$ med koordinater $$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{2} \\ \sqrt{2} \end{pmatrix}. $$ >Find $x$-$y$-koordinaterne. ```{code-cell} # ``` 3. Lad os prøve at visualisere denne drejning. I følgende kodecelle genereres to koordinatsystemer i hhv. $(x,y)$- og $(x',y')$-koordinater. I hvert koordinatsystem er også plottet et eksempel på en vektor med kodelinjen: `ax.quiver(0, 0, *np.array([1,1/2]), angles="xy", scale_units="xy", scale=1, color="red", width=0.006)` >Foretag ændringer i plottet, så vi får følgende: > * I ($x,y$)-koordinatsystem vises vektorerne $\boldsymbol{v}$ og $\boldsymbol{w}$. > * I ($x',y'$)-koordinatsystem vises vektorerne $\boldsymbol{v}'$ og $\boldsymbol{w}'$. > * $\boldsymbol{v}$ og $\boldsymbol{v}'$ er plottet med samme farve, mens $\boldsymbol{w}$ og $\boldsymbol{w}'$ har en anden fælles farve. ```{code-cell} # Rotationsvinkel theta = np.pi / 4 # Akse definitioner x_prime = 2*np.array([np.cos(theta), np.sin(theta)]) y_prime = 2*np.array([-np.sin(theta), np.cos(theta)]) fig, axs = plt.subplots( 1, 2, figsize = (10,10)) # laver to plots side om side (1x2) # fælles plot udseende for ax in axs: ax.grid() ax.set_aspect('equal') ax.set_xlim(-1.75, 2.25) ax.set_ylim(-1, 2.5) ax.axhline(0, color="black", linewidth=1) ax.axvline(0, color="black", linewidth=1) # venstre subplot (x-y koordinatsystem) ---------------------------- ax = axs[0] # sætter akse-labels og titel ax.set_xlabel('x') ax.set_ylabel('y') ax.set_title('($x$, $y$) koordinatsystem') # plotter x'-y'-askerne ax.quiver(0, 0, *x_prime, angles="xy", scale_units="xy", scale=1, color="black", width=0.004) ax.text(x_prime[0]+0.05, x_prime[1], "$x'$", fontsize=12) ax.quiver(0, 0, *y_prime, angles="xy", scale_units="xy", scale=1, color="black", width=0.004) ax.text(y_prime[0]-0.1, y_prime[1], "$y'$", fontsize=12) # EGEN KODE: plotter vektorerne v og w (x-y koordinater) ax.quiver(0, 0, *np.array([1,1/2]), angles="xy", scale_units="xy", scale=1, color="red", width=0.006) # eksempel (fjern denne) # højre subplot (x'-y' koordinatsystem) ---------------------------- ax = axs[1] # sætter akse-labels og titel ax.set_xlabel("$x'$") ax.set_ylabel("$y'$") ax.set_title("($x'$, $y'$) koordinatsystem") # EGEN KODE: plotter vektorerne v' og w' (x'-y' koordinater) ax.quiver(0, 0, *np.array([1,1/2]), angles="xy", scale_units="xy", scale=1, color="blue", width=0.006) # eksempel (fjern denne) plt.show() ```